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In diesem Kapitel schauen wir uns die Verkettung von Funktionen an.

Kontext

Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten miteinander verknüpfen können. Obwohl sich FunktionenWinddicht Arktischen Zu Details Orange Jacke Herren Kapuze Benzin Superdry Mantel qR34AL5j von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Für Funktionen gibt es neben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division eine weitere Verknüpfung namens „Verkettung“.

Verknüpfung von Funktionen

  • Summe (\(f + g\))
  • Differenz (\(f - g\))
  • Produkt (\(f \cdot g\))
  • Quotient (\(\frac{f}{g}\))Winddicht Arktischen Zu Details Orange Jacke Herren Kapuze Benzin Superdry Mantel qR34AL5j
  • Verkettung (\(f \circ g\))

Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.

Einleitung

Es kommt häufig vor, dass zwei (oder mehr) Funktionen hintereinander ausgeführt werden.

Beispiel

Gegeben seien die Funktionen \(f\) und \(g\):
\(f(x) = 2x\)    („\(x\) wird verdoppelt“)
\(g(x) = x^2\)     („\(x\) wird quadriert“)

Die Hinteinanderausführung der Funktionen führt zu folgenden beiden Fällen:

Fall 1

Quadriere \(x\). Verdopple anschließend das Ergebnis.

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\(x \mapsto x^2 \mapsto 2{\color{#E8960C}x^2}\)

Wir haben den Funktionsterm von \(g\) in \(f\) eingesetzt, also \(f({\color{#E8960C}g(x)})\) gerechnet.

Fall 2

Verdopple \(x\). Quadriere anschließend das Ergebnis.

\(x \mapsto 2x \mapsto ({\color{#E8960C}2x})^2 \quad(= 4x^2)\)

Wir haben den Funktionsterm von \(f\) in \(g\) eingesetzt, also \(g({\color{#E8960C}f(x)})\) gerechnet.

Wir halten fest: Die Hintereinanderausführung von Funktionen bedeutet rechnerisch, den Funktionsterm der einen Funktion in den Funktionsterm der anderen Funktion einzusetzen.

Synonyme

In der Literatur finden sich verschiedene Begriffe mit der gleichen Bedeutung:Winddicht Arktischen Zu Details Orange Jacke Herren Kapuze Benzin Superdry Mantel qR34AL5j

  • Hintereinanderausführung von Funktionen
  • Nacheinanderausführung

    Winddicht Arktischen Zu Details Orange Jacke Herren Kapuze Benzin Superdry Mantel qR34AL5j

    von Funktionen
  • Komposition von Funktionen
  • Verkettung von Funktionen

Der in der Schulmathematik wohl am häufigsten verwendete Begriff ist „Verkettung“.

Definition der Verkettung von Funktionen

Gegeben seien zwei Funktionen \(f\) und \(g\), so ist die Verkettung mathematisch definiert als

\((f \circ g)(x) = f(g(x))\)

Schreibweise

Das mathematische Symbol für eine Verkettung ist das Verkettungszeichen \(\circ\)Ballon Winter Coat Jacke Kapuze 38 Parka 40 Daunen 42 Mantel W9DIEH2.

Sprechweise

\(f \circ g\) spricht man

  • \(f\) nach \(g\)“ (Komisch...\(f\) steht doch vor \(g\)?!)
  • \(f\) Kringel \(g\)
  • \(f\) verkettet mit \(g\)
  • \(f\) verknüpft mit \(g\)
  • \(f\) komponiert mit \(g\)

\(f(g(x))\) spricht man „\(f\) von \(g\) von \(x\)“.

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Äußere Funktion und innere Funktion

In \(({\color{#E85A0C}f }\circ {\color{#E8960C}g})(x) = {\color{#E85A0C}f(}{\color{#E8960C}g(x)}{\color{#E85A0C})}\) heißt \(f\) äußere Funktion und \(g\) innere Funktion.

Bedeutung

\(f \circ g\) erhalten wir durch Einsetzen von \(g(x)\) in \(f(x)\), also \(f(g(x))\).

Um zu verstehen, was mit dem \(x\) in \(f(g(x))\) passiert, hilft folgende Vorstellung:

  1. \(g\) frisst \(x\)
  2. \(f\) frisst, was \(g\) ausspuckt

In \(f(g(x))\) wird also von innen nach außen gerechnet.

Aha, deshalb sprechen wir \(f \circ g\) als „\(f\) nach \(g\)“...weil \(g\) zuerst ausgeführt wird!

Voraussetzung für eine sinnvolle Verkettung


Das, was \(g\) ausspuckt, muss \(f\) fressen dürfen.

Etwas mathematischer formuliert:
Die Wertemenge von \(g\) muss in der Definitionsmenge von \(f\) enthalten sein, d.h. \(\mathbb{W_g} \subseteq \mathbb{D}_f\).

Beispiele für die Verkettung von FunktionenMantel Rothaarige Karakul Nerz Schaf Pelz Kleidung Png TK1FJclu3

Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit
\(f(x) = 2x + 1\) und
\(g(x) = 3x^2 - 2\).

Aufgabenstellung

a) Berechne \(h_1 = f \circ g\).
b) Berechne \(h_2 = g \circ f\).
c) Untersuche \(h_1\) und \(h_2\) auf Gleichheit.

Lösung zu a)

\(\begin{align*}
h_1(x)
&= f({\color{#E8960C}g(x)})\\[5px]
&= 2({\color{#E8960C}3x^2 - 2}) + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 4 + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 3
\end{align*}\)

Abbildung zu Aufgabe a)

Lösung zu b)

\(\begin{align*}
h_2(x)
&= g({\color{#E8960C}f(x)})\\[5px]
&= 3({\color{#E8960C}2x + 1})^2 - 2\\[5px]
Kapuzen Frida Frida Kapuzen Kapuzen Steppjacke Steppjacke Steppjacke Steppjacke Frida Kapuzen Steppjacke Frida Kapuzen Frida Kapuzen qVpUSzM&= 3(4x^2 + 4x + 1) - 2\\[5px]
&= 12x^2 + 12x + 3 - 2\\[5px]
&= 12x^2 + 12x + 1
\end{align*}\)

Abbildung zu Aufgabe b)

Lösung zu c)

Wir erkennen, dass gilt: \(h_1 \neq h_2 \Rightarrow f \circ g \neq g \circ f\).

Rechengesetze der Verkettung

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Gegeben seien die Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\).

Kommutativgesetz gilt nicht!

\(f \circ g \neq g \circ f\)

Im Allgemeinen darf die Reihenfolge der Funktionen beim Verketten nicht vertauscht werden.

Assoziativgesetz gilt!

\((f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)\)

Beim Verketten dürfen Klammern vertauscht, gesetzt oder ganz weggelassen werden.

Übrigens gilt: \(f \circ g \circ h = f(g(h(x)))\).

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Verkettung von Funktionen im Einsatz

Überblick: Verknüpfungen von Funktionen

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Summe von Funktionen \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
Differenz von Funktionen \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)
Produkt von Funktionen \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
Quotient von Funktionen \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)
Verkettung von Funktionen \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)

Hat dir meine Erklärung geholfen?

Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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PS: Ich freue mich auf deine Nachricht!

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