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In diesem Kapitel schauen wir uns die Verkettung von Funktionen an.

Kontext

Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten miteinander verknüpfen können. Obwohl sich FunktionenVestes 5xl Windjacke Männer 2016 Pour Neue Jacke 6gvYbfy7 von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Für Funktionen gibt es neben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division eine weitere Verknüpfung namens „Verkettung“.

Verknüpfung von Funktionen

  • Summe (\(f + g\))
  • Differenz (\(f - g\))
  • Produkt (\(f \cdot g\))
  • Quotient (\(\frac{f}{g}\))Vestes 5xl Windjacke Männer 2016 Pour Neue Jacke 6gvYbfy7
  • Verkettung (\(f \circ g\))

Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.

Einleitung

Es kommt häufig vor, dass zwei (oder mehr) Funktionen hintereinander ausgeführt werden.

Beispiel

Gegeben seien die Funktionen \(f\) und \(g\):
\(f(x) = 2x\)    („\(x\) wird verdoppelt“)
\(g(x) = x^2\)     („\(x\) wird quadriert“)

Die Hinteinanderausführung der Funktionen führt zu folgenden beiden Fällen:

Fall 1

Quadriere \(x\). Verdopple anschließend das Ergebnis.

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\(x \mapsto x^2 \mapsto 2{\color{#E8960C}x^2}\)

Wir haben den Funktionsterm von \(g\) in \(f\) eingesetzt, also \(f({\color{#E8960C}g(x)})\) gerechnet.

Fall 2

Verdopple \(x\). Quadriere anschließend das Ergebnis.

\(x \mapsto 2x \mapsto ({\color{#E8960C}2x})^2 \quad(= 4x^2)\)

Wir haben den Funktionsterm von \(f\) in \(g\) eingesetzt, also \(g({\color{#E8960C}f(x)})\) gerechnet.

Wir halten fest: Die Hintereinanderausführung von Funktionen bedeutet rechnerisch, den Funktionsterm der einen Funktion in den Funktionsterm der anderen Funktion einzusetzen.

Synonyme

In der Literatur finden sich verschiedene Begriffe mit der gleichen Bedeutung:Vestes 5xl Windjacke Männer 2016 Pour Neue Jacke 6gvYbfy7

  • Hintereinanderausführung von Funktionen
  • Nacheinanderausführung

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    von Funktionen
  • Komposition von Funktionen
  • Verkettung von Funktionen

Der in der Schulmathematik wohl am häufigsten verwendete Begriff ist „Verkettung“.

Definition der Verkettung von Funktionen

Gegeben seien zwei Funktionen \(f\) und \(g\), so ist die Verkettung mathematisch definiert als

\((f \circ g)(x) = f(g(x))\)

Schreibweise

Das mathematische Symbol für eine Verkettung ist das Verkettungszeichen \(\circ\)Esprit Herren Leichte Jacke Weiss Elegant FluKc35T1J.

Sprechweise

\(f \circ g\) spricht man

  • \(f\) nach \(g\)“ (Komisch...\(f\) steht doch vor \(g\)?!)
  • \(f\) Kringel \(g\)
  • \(f\) verkettet mit \(g\)
  • \(f\) verknüpft mit \(g\)
  • \(f\) komponiert mit \(g\)

\(f(g(x))\) spricht man „\(f\) von \(g\) von \(x\)“.

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Äußere Funktion und innere Funktion

In \(({\color{#E85A0C}f }\circ {\color{#E8960C}g})(x) = {\color{#E85A0C}f(}{\color{#E8960C}g(x)}{\color{#E85A0C})}\) heißt \(f\) äußere Funktion und \(g\) innere Funktion.

Bedeutung

\(f \circ g\) erhalten wir durch Einsetzen von \(g(x)\) in \(f(x)\), also \(f(g(x))\).

Um zu verstehen, was mit dem \(x\) in \(f(g(x))\) passiert, hilft folgende Vorstellung:

  1. \(g\) frisst \(x\)
  2. \(f\) frisst, was \(g\) ausspuckt

In \(f(g(x))\) wird also von innen nach außen gerechnet.

Aha, deshalb sprechen wir \(f \circ g\) als „\(f\) nach \(g\)“...weil \(g\) zuerst ausgeführt wird!

Voraussetzung für eine sinnvolle Verkettung


Das, was \(g\) ausspuckt, muss \(f\) fressen dürfen.

Etwas mathematischer formuliert:
Die Wertemenge von \(g\) muss in der Definitionsmenge von \(f\) enthalten sein, d.h. \(\mathbb{W_g} \subseteq \mathbb{D}_f\).

Beispiele für die Verkettung von FunktionenJacket Nuptse Boys Title The Down Details Outdoor North Winter Show Original About Face Ifg6Yyvb7

Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit
\(f(x) = 2x + 1\) und
\(g(x) = 3x^2 - 2\).

Aufgabenstellung

a) Berechne \(h_1 = f \circ g\).
b) Berechne \(h_2 = g \circ f\).
c) Untersuche \(h_1\) und \(h_2\) auf Gleichheit.

Lösung zu a)

\(\begin{align*}
h_1(x)
&= f({\color{#E8960C}g(x)})\\[5px]
&= 2({\color{#E8960C}3x^2 - 2}) + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 4 + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 3
\end{align*}\)

Abbildung zu Aufgabe a)

Lösung zu b)

\(\begin{align*}
h_2(x)
&= g({\color{#E8960C}f(x)})\\[5px]
&= 3({\color{#E8960C}2x + 1})^2 - 2\\[5px]
Mädchen Colour Bright Jette Denimjacke Staccato k0X8wPnO&= 3(4x^2 + 4x + 1) - 2\\[5px]
&= 12x^2 + 12x + 3 - 2\\[5px]
&= 12x^2 + 12x + 1
\end{align*}\)

Abbildung zu Aufgabe b)

Lösung zu c)

Wir erkennen, dass gilt: \(h_1 \neq h_2 \Rightarrow f \circ g \neq g \circ f\).

Rechengesetze der Verkettung

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Gegeben seien die Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\).

Kommutativgesetz gilt nicht!

\(f \circ g \neq g \circ f\)

Im Allgemeinen darf die Reihenfolge der Funktionen beim Verketten nicht vertauscht werden.

Assoziativgesetz gilt!

\((f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)\)

Beim Verketten dürfen Klammern vertauscht, gesetzt oder ganz weggelassen werden.

Übrigens gilt: \(f \circ g \circ h = f(g(h(x)))\).

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Verkettung von Funktionen im Einsatz

Überblick: Verknüpfungen von Funktionen

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Summe von Funktionen \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
Differenz von Funktionen \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)
Produkt von Funktionen \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
Quotient von Funktionen \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)
Verkettung von Funktionen \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)

Hat dir meine Erklärung geholfen?

Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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PS: Ich freue mich auf deine Nachricht!

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